La π-culture.

Le 14 mars de chaque année (3-14 en date anglo-saxonne) est désormais le jour de pi.

Le nombre π ( pi ) est célèbre. 

C'est le nombre par lequel il faut multiplier le diamètre d'un cercle pour obtenir la longueur de sa circonférence. 

La notation π a été choisie au XVIII^ème siècle, et correspond à la première lettre du mot grec signifiant « périmètre ». 

L'Odyssée de Pi...

La connaissance de la valeur de π a intéressé les mathématiciens depuis l'Antiquité (2000 ans av. J.-C.).

Ils ont vite constaté que ce n'était pas un nombre entier, ni même rationnel (pouvant être écrit comme un quotient de 2 entiers)

Pour trouver une valeur approchée de la valeur de π , la méthode de base consiste à construire deux polygones réguliers ayant le même nombre de côtés, en traçant le premier à l'intérieur d'un cercle, l'autre étant tracé autour du même cercle.

Le périmètre étant bien sûr donné par la formule:

P = 2 π R = π D où D est le diamètre du cercle.

Le fait de diviser les périmètres des deux polygones par le diamètre du cercle permet d'obtenir un encadrement de la valeur du nombre π, qui devient plus précis en augmentant le nombre de côtés des polygones.

Avec des hexagones, que les guêpes et abeilles affectionnent particulièrement, et qui donc intrinsèquement manipulent pi,  on trouve que π est compris entre 3 et 3,47.

Le savant grec Archimède (250 avant J.-C.) a ainsi utilisé des polygones de 96 côtés, et détermina que le rapport de la circonférence d'un cercle à son diamètre a une valeur proche de 22/7 (3,1428).

 Il trouva que π est compris entre 3 + 10/71 et 3 + 10/70 c'est-à-dire que l'on a:

3,1410369 < π < 3,1427201

Pas mal quand même pour l'époque.

Archimède aurait peut être encore amélioré ses calculs s'il n'avait été bêtement tué à 75 ans par un soldat romain à Syracuse.

La mort d'Archimède en 212 av JC. Dérangé par un soldat alors qu'il trace des figures géométriques, 

il lui lance: «  Ne dérange pas mes cercles !». Ce fût ses dernières paroles...

Qu'aurait-il pu découvrir d'autre s'il avait survécu ? 
Probablement une multitude d'autres propriétés mathématiques ou physiques...

Méthodes analytiques et améliorations de la précision

Bien longtemps après, l'invention du calcul intégral et des développements en séries entières permit d'obtenir π par des méthodes analytiques et de très grands progrès furent donc faits.

Au XVIIe siècle, avec le début du calcul différentiel, on procédait ainsi:

Puisque tan(π/ 4) = 1 on obtient π = 4 artan (1) et le développement en série (R=1) de arctan(x):

donne π = 4 artan (1) = 4 ( 1 - 1/3 + 1/5 - 1/ 7 + 1/9 - 1/11 + 1/13 - 1/15+1/17- 1/19 +...) etc


... ça marche, mais c'est très long.  Quand j'étais en 2nde, j'avais programmé ma TI 57 pour faire ce calcul.

Une fois branchée sur le secteur (...son autonomie n'était que de deux ou trois heures...)  elle me donna au bout de 5 jours une valeur approchée de π à la sixième décimale seulement....

De nombreuses autres formules bien plus performantes existent:

 Tous les mathématiciens y ont apporté leur pierre, comme Al Kashi, François Viète (l'inventeur des notations du calcul littéral) ou le mathématicien philosophe René Descartes.

A noter la contribution de l'allemand Ludolph Von Ceulen qui, en 1609, obtient 34 décimales de pi.

Il les a d'ailleurs fait graver (4 fois) sur sa tombe...

Pour plus d'informations sur toutes ces formules, voir le site suivant :http://www.pi314.net/fr/methana.php

 Et la précision vint...

Aujourd'hui, on connait π avec plus de 200 milliards de décimales et son calcul permet d'ailleurs de tester la vitesse des nouveaux processeurs.

Un des "papes" du nombre π aujourd'hui est le canadien Simon Plouffe, autour de plusieurs formules et méthodes de calculs.

Il a par exemple découvert le moyen de calculer la nième décimale de π (en base 2 puis 10) sans avoir à chercher les décimales précédentes...

On peut donc savoir quelle est la 576 920 657 000 000 000 000 000 000e décimale si on en a envie...

Le français Xavier Gourdon a créé de son côté l'extraordinaire petit programme PIFAST qui permet de calculer des centaines de milliers de décimales de π avec votre micro ordinateur en un rien de temps.

Site de Xavier Gourdon ici.

Pifast 32 de Xavier Gourdon.

Au démarrage, on a un cadre noir type MS-DOS, qui demande pas mal de trucs dont le nombre de décimales souhaité.

J'ai naïvement pensé que 2000 était bien suffisant pour commencer.

Message d'erreur. Il faut au moins 10 000 décimales, sinon Pifast de se dérange pas.

Bon, ben 10 000 décimales alors...

En 0,04 seconde, une valeur approchée (bien approchée quand même) de π est calculée avec 10 000 décimales et placée dans un fichier text. pi.text, à ouvrir par exemple avec word ou wordpad.


Voila le résultat.

Program : PiFast version 3.3, by Xavier Gourdon
Computation of 10000 digits of Pi
Method used : Chudnovsky
Size of FFT : 1 K
Physical memory used : ~ 40 K
Disk memory used : ~ 0.00 Meg
------------------------------------------------------------
Computation run information :

Start : Sun Feb 05 10:36:04 2012
End   : Sun Feb 05 10:36:04 2012
Duration : 0.04 seconds
============================================================
Total computation time : 0.04 seconds (~ 0.00 hours)
============================================================
Pi with 10000 digits :
Pi = 3 .
1415926535 8979323846 2643383279 5028841971 6939937510  : 50
5820974944 5923078164 0628620899 8628034825 3421170679  : 100
8214808651 3282306647 0938446095 5058223172 5359408128  : 150
4811174502 8410270193 8521105559 6446229489 5493038196  : 200
4428810975 6659334461 2847564823 3786783165 2712019091  : 250
4564856692 3460348610 4543266482 1339360726 0249141273  : 300
7245870066 0631558817 4881520920 9628292540 9171536436  : 350
7892590360 0113305305 4882046652 1384146951 9415116094  : 400
3305727036 5759591953 0921861173 8193261179 3105118548  : 450
0744623799 6274956735 1885752724 8912279381 8301194912  : 500

9833673362 4406566430 8602139494 6395224737 1907021798  : 550
6094370277 0539217176 2931767523 8467481846 7669405132  : 600
0005681271 4526356082 7785771342 7577896091 7363717872  : 650
1468440901 2249534301 4654958537 1050792279 6892589235  : 700
4201995611 2129021960 8640344181 5981362977 4771309960  : 750
5187072113 4999999837 2978049951 0597317328 1609631859  : 800
5024459455 3469083026 4252230825 3344685035 2619311881  : 850
7101000313 7838752886 5875332083 8142061717 7669147303  : 900
5982534904 2875546873 1159562863 8823537875 9375195778  : 950
1857780532 1712268066 1300192787 6611195909 2164201989  : 1000

3809525720 1065485863 2788659361 5338182796 8230301952  : 1050
0353018529 6899577362 2599413891 2497217752 8347913151  : 1100
5574857242 4541506959 5082953311 6861727855 8890750983  : 1150
8175463746 4939319255 0604009277 0167113900 9848824012  : 1200
8583616035 6370766010 4710181942 9555961989 4676783744  : 1250
9448255379 7747268471 0404753464 6208046684 2590694912  : 1300
9331367702 8989152104 7521620569 6602405803 8150193511  : 1350
2533824300 3558764024 7496473263 9141992726 0426992279  : 1400
6782354781 6360093417 2164121992 4586315030 2861829745  : 1450
5570674983 8505494588 5869269956 9092721079 7509302955  : 1500

3211653449 8720275596 0236480665 4991198818 3479775356  : 1550
6369807426 5425278625 5181841757 4672890977 7727938000  : 1600
8164706001 6145249192 1732172147 7235014144 1973568548  : 1650
1613611573 5255213347 5741849468 4385233239 0739414333  : 1700
4547762416 8625189835 6948556209 9219222184 2725502542  : 1750
5688767179 0494601653 4668049886 2723279178 6085784383  : 1800
8279679766 8145410095 3883786360 9506800642 2512520511  : 1850
7392984896 0841284886 2694560424 1965285022 2106611863  : 1900
0674427862 2039194945 0471237137 8696095636 4371917287  : 1950
4677646575 7396241389 0865832645 9958133904 7802759009  : 2000

9465764078 9512694683 9835259570 9825822620 5224894077  : 2050
2671947826 8482601476 9909026401 3639443745 5305068203  : 2100
4962524517 4939965143 1429809190 6592509372 2169646151  : 2150
5709858387 4105978859 5977297549 8930161753 9284681382  : 2200
6868386894 2774155991 8559252459 5395943104 9972524680  : 2250
8459872736 4469584865 3836736222 6260991246 0805124388  : 2300
4390451244 1365497627 8079771569 1435997700 1296160894  : 2350
4169486855 5848406353 4220722258 2848864815 8456028506  : 2400
0168427394 5226746767 8895252138 5225499546 6672782398  : 2450
6456596116 3548862305 7745649803 5593634568 1743241125  : 2500

1507606947 9451096596 0940252288 7971089314 5669136867  : 2550
2287489405 6010150330 8617928680 9208747609 1782493858  : 2600
9009714909 6759852613 6554978189 3129784821 6829989487  : 2650
2265880485 7564014270 4775551323 7964145152 3746234364  : 2700
5428584447 9526586782 1051141354 7357395231 1342716610  : 2750
2135969536 2314429524 8493718711 0145765403 5902799344  : 2800
0374200731 0578539062 1983874478 0847848968 3321445713  : 2850
8687519435 0643021845 3191048481 0053706146 8067491927  : 2900
8191197939 9520614196 6342875444 0643745123 7181921799  : 2950
9839101591 9561814675 1426912397 4894090718 6494231961  : 3000

5679452080 9514655022 5231603881 9301420937 6213785595  : 3050
6638937787 0830390697 9207734672 2182562599 6615014215  : 3100
0306803844 7734549202 6054146659 2520149744 2850732518  : 3150
6660021324 3408819071 0486331734 6496514539 0579626856  : 3200
1005508106 6587969981 6357473638 4052571459 1028970641  : 3250
4011097120 6280439039 7595156771 5770042033 7869936007  : 3300
2305587631 7635942187 3125147120 5329281918 2618612586  : 3350
7321579198 4148488291 6447060957 5270695722 0917567116  : 3400
7229109816 9091528017 3506712748 5832228718 3520935396  : 3450
5725121083 5791513698 8209144421 0067510334 6711031412  : 3500

6711136990 8658516398 3150197016 5151168517 1437657618  : 3550
3515565088 4909989859 9823873455 2833163550 7647918535  : 3600
8932261854 8963213293 3089857064 2046752590 7091548141  : 3650
6549859461 6371802709 8199430992 4488957571 2828905923  : 3700
2332609729 9712084433 5732654893 8239119325 9746366730  : 3750
5836041428 1388303203 8249037589 8524374417 0291327656  : 3800
1809377344 4030707469 2112019130 2033038019 7621101100  : 3850
4492932151 6084244485 9637669838 9522868478 3123552658  : 3900
2131449576 8572624334 4189303968 6426243410 7732269780  : 3950
2807318915 4411010446 8232527162 0105265227 2111660396  : 4000

6655730925 4711055785 3763466820 6531098965 2691862056  : 4050
4769312570 5863566201 8558100729 3606598764 8611791045  : 4100
3348850346 1136576867 5324944166 8039626579 7877185560  : 4150
8455296541 2665408530 6143444318 5867697514 5661406800  : 4200
7002378776 5913440171 2749470420 5622305389 9456131407  : 4250
1127000407 8547332699 3908145466 4645880797 2708266830  : 4300
6343285878 5698305235 8089330657 5740679545 7163775254  : 4350
2021149557 6158140025 0126228594 1302164715 5097925923  : 4400
0990796547 3761255176 5675135751 7829666454 7791745011  : 4450
2996148903 0463994713 2962107340 4375189573 5961458901  : 4500

9389713111 7904297828 5647503203 1986915140 2870808599  : 4550
0480109412 1472213179 4764777262 2414254854 5403321571  : 4600
8530614228 8137585043 0633217518 2979866223 7172159160  : 4650
7716692547 4873898665 4949450114 6540628433 6639379003  : 4700
9769265672 1463853067 3609657120 9180763832 7166416274  : 4750
8888007869 2560290228 4721040317 2118608204 1900042296  : 4800
6171196377 9213375751 1495950156 6049631862 9472654736  : 4850
4252308177 0367515906 7350235072 8354056704 0386743513  : 4900
6222247715 8915049530 9844489333 0963408780 7693259939  : 4950
7805419341 4473774418 4263129860 8099888687 4132604721  : 5000

5695162396 5864573021 6315981931 9516735381 2974167729  : 5050
4786724229 2465436680 0980676928 2382806899 6400482435  : 5100
4037014163 1496589794 0924323789 6907069779 4223625082  : 5150
2168895738 3798623001 5937764716 5122893578 6015881617  : 5200
5578297352 3344604281 5126272037 3431465319 7777416031  : 5250
9906655418 7639792933 4419521541 3418994854 4473456738  : 5300
3162499341 9131814809 2777710386 3877343177 2075456545  : 5350
3220777092 1201905166 0962804909 2636019759 8828161332  : 5400
3166636528 6193266863 3606273567 6303544776 2803504507  : 5450
7723554710 5859548702 7908143562 4014517180 6246436267  : 5500

9456127531 8134078330 3362542327 8394497538 2437205835  : 5550
3114771199 2606381334 6776879695 9703098339 1307710987  : 5600
0408591337 4641442822 7726346594 7047458784 7787201927  : 5650
7152807317 6790770715 7213444730 6057007334 9243693113  : 5700
8350493163 1284042512 1925651798 0694113528 0131470130  : 5750
4781643788 5185290928 5452011658 3934196562 1349143415  : 5800
9562586586 5570552690 4965209858 0338507224 2648293972  : 5850
8584783163 0577775606 8887644624 8246857926 0395352773  : 5900
4803048029 0058760758 2510474709 1643961362 6760449256  : 5950
2742042083 2085661190 6254543372 1315359584 5068772460  : 6000

2901618766 7952406163 4252257719 5429162991 9306455377  : 6050
9914037340 4328752628 8896399587 9475729174 6426357455  : 6100
2540790914 5135711136 9410911939 3251910760 2082520261  : 6150
8798531887 7058429725 9167781314 9699009019 2116971737  : 6200
2784768472 6860849003 3770242429 1651300500 5168323364  : 6250
3503895170 2989392233 4517220138 1280696501 1784408745  : 6300
1960121228 5993716231 3017114448 4640903890 6449544400  : 6350
6198690754 8516026327 5052983491 8740786680 8818338510  : 6400
2283345085 0486082503 9302133219 7155184306 3545500766  : 6450
8282949304 1377655279 3975175461 3953984683 3936383047  : 6500

4611996653 8581538420 5685338621 8672523340 2830871123  : 6550
2827892125 0771262946 3229563989 8989358211 6745627010  : 6600
2183564622 0134967151 8819097303 8119800497 3407239610  : 6650
3685406643 1939509790 1906996395 5245300545 0580685501  : 6700
9567302292 1913933918 5680344903 9820595510 0226353536  : 6750
1920419947 4553859381 0234395544 9597783779 0237421617  : 6800
2711172364 3435439478 2218185286 2408514006 6604433258  : 6850
8856986705 4315470696 5747458550 3323233421 0730154594  : 6900
0516553790 6866273337 9958511562 5784322988 2737231989  : 6950
8757141595 7811196358 3300594087 3068121602 8764962867  : 7000

4460477464 9159950549 7374256269 0104903778 1986835938  : 7050
1465741268 0492564879 8556145372 3478673303 9046883834  : 7100
3634655379 4986419270 5638729317 4872332083 7601123029  : 7150
9113679386 2708943879 9362016295 1541337142 4892830722  : 7200
0126901475 4668476535 7616477379 4675200490 7571555278  : 7250
1965362132 3926406160 1363581559 0742202020 3187277605  : 7300
2772190055 6148425551 8792530343 5139844253 2234157623  : 7350
3610642506 3904975008 6562710953 5919465897 5141310348  : 7400
2276930624 7435363256 9160781547 8181152843 6679570611  : 7450
0861533150 4452127473 9245449454 2368288606 1340841486  : 7500

3776700961 2071512491 4043027253 8607648236 3414334623  : 7550
5189757664 5216413767 9690314950 1910857598 4423919862  : 7600
9164219399 4907236234 6468441173 9403265918 4044378051  : 7650
3338945257 4239950829 6591228508 5558215725 0310712570  : 7700
1266830240 2929525220 1187267675 6220415420 5161841634  : 7750
8475651699 9811614101 0029960783 8690929160 3028840026  : 7800
9104140792 8862150784 2451670908 7000699282 1206604183  : 7850
7180653556 7252532567 5328612910 4248776182 5829765157  : 7900
9598470356 2226293486 0034158722 9805349896 5022629174  : 7950
8788202734 2092222453 3985626476 6914905562 8425039127  : 8000

5771028402 7998066365 8254889264 8802545661 0172967026  : 8050
6407655904 2909945681 5065265305 3718294127 0336931378  : 8100
5178609040 7086671149 6558343434 7693385781 7113864558  : 8150
7367812301 4587687126 6034891390 9562009939 3610310291  : 8200
6161528813 8437909904 2317473363 9480457593 1493140529  : 8250
7634757481 1935670911 0137751721 0080315590 2485309066  : 8300
9203767192 2033229094 3346768514 2214477379 3937517034  : 8350
4366199104 0337511173 5471918550 4644902636 5512816228  : 8400
8244625759 1633303910 7225383742 1821408835 0865739177  : 8450
1509682887 4782656995 9957449066 1758344137 5223970968  : 8500

3408005355 9849175417 3818839994 4697486762 6551658276  : 8550
5848358845 3142775687 9002909517 0283529716 3445621296  : 8600
4043523117 6006651012 4120065975 5851276178 5838292041  : 8650
9748442360 8007193045 7618932349 2292796501 9875187212  : 8700
7267507981 2554709589 0455635792 1221033346 6974992356  : 8750
3025494780 2490114195 2123828153 0911407907 3860251522  : 8800
7429958180 7247162591 6685451333 1239480494 7079119153  : 8850
2673430282 4418604142 6363954800 0448002670 4962482017  : 8900
9289647669 7583183271 3142517029 6923488962 7668440323  : 8950
2609275249 6035799646 9256504936 8183609003 2380929345  : 9000

9588970695 3653494060 3402166544 3755890045 6328822505  : 9050
4525564056 4482465151 8754711962 1844396582 5337543885  : 9100
6909411303 1509526179 3780029741 2076651479 3942590298  : 9150
9695946995 5657612186 5619673378 6236256125 2163208628  : 9200
6922210327 4889218654 3648022967 8070576561 5144632046  : 9250
9279068212 0738837781 4233562823 6089632080 6822246801  : 9300
2248261177 1858963814 0918390367 3672220888 3215137556  : 9350
0037279839 4004152970 0287830766 7094447456 0134556417  : 9400
2543709069 7939612257 1429894671 5435784687 8861444581  : 9450
2314593571 9849225284 7160504922 1242470141 2147805734  : 9500

5510500801 9086996033 0276347870 8108175450 1193071412  : 9550
2339086639 3833952942 5786905076 4310063835 1983438934  : 9600
1596131854 3475464955 6978103829 3097164651 4384070070  : 9650
7360411237 3599843452 2516105070 2705623526 6012764848  : 9700
3084076118 3013052793 2054274628 6540360367 4532865105  : 9750
7065874882 2569815793 6789766974 2205750596 8344086973  : 9800
5020141020 6723585020 0724522563 2651341055 9240190274  : 9850
2162484391 4035998953 5394590944 0704691209 1409387001  : 9900
2645600162 3742880210 9276457931 0657922955 2498872758  : 9950
4610126483 6999892256 9596881592 0560010165 5256375678  : 10000


Sympa. Inutile, mais sympa.

Pour voir cette fois les 100 000 premières décimales de π d'un seul coup, c'est là:
http://www.geom.uiuc.edu/~huberty/math5337/groupe/digits.html


Mémorisation de π

Certains, dont Simon Plouffe, arrivent à  mémoriser un très grand nombre de décimales de ce fameux nombre (plus de 4000 pour S.Plouffe)

En 2005, le record était de 67 890 décimales mémorisées et récitées par le Chinois Chao Lu.

Sans aller jusque là, on peut utiliser la célèbre phrase suivante, que tous les écoliers jadis connaissaient:

"Que j'aime à faire apprendre un nombre utile aux sages"

En comptant le nombre de lettres de chaque mots, on obtient déjà
π = 3,1415926535....

Ce qui suffit largement pour la plupart des calculs.

Evidemment, si vous mémorisez une phrase type:

"J'aime vachement dire des drôles de nombres aux copains".. ça marchera moins bien ...

Poème entier ici:

Que j'aime à faire apprendre ce nombre utile aux sages !	3, 1 4 1 5 9 2 6 5 3 5
Immortel Archimède, artiste ingénieux,	8 9 7 9
Toi de qui Syracuse aime encore la gloire,	3 2 3 8 4 6 2 6
Soit ton nom conservé par de savants grimoires !	4 3 3 8 3 2 7 9
Jadis, mystérieux, un problème bloquait	5 0 2 8 8
Tout l'admirable procédé, l'œuvre grandiose	4 1 9 7 1 6 9
Que Pythagore découvrit aux anciens Grecs.	3 9 9 3 7 5
0 quadrature ! Vieux tourment du philosophe	1 0 5 8 2 9
Insoluble rondeur, trop longtemps vous avez	9 7 4 9 4 4
Défié Pythagore et ses imitateurs.	5 9 2 3 0
Comment intégrer l'espace plan circulaire ?	7 8 1 6 4 0
Former un triangle auquel il équivaudra ?	6 2 8 6 2 0
Nouvelle invention : Archimède inscrira	8 9 9 8
Dedans un hexagone ; appréciera son aire	6 2 8 0 3 4
Fonction du rayon. Pas trop ne s'y tiendra :	8 2 5 3 4 2 1 1 7
Dédoublera chaque élément antérieur ;	0 6 7 9
Toujours de l'orbe calculée approchera ;	8 2 1 4 8 0
Définira limite ; enfin, l'arc, le limiteur	8 6 5 1 3 2 8
De cet inquiétant cercle, ennemi trop rebelle	2 3 0 6 6 4 7
Professeur, enseignez son problème avec zèle	0 9 3 8 4 4 .....

Quelques caractéristiques: π est irrationnel et transcendant.

π  est un nombre irrationnel, c'est-à-dire que comme e ou √2, il n'est pas rationnel, il ne peut pas s'écrire comme un quotient de deux entiers.

√2

La démonstration par les Pythagoriciens de l'irrationnalité de √2 est archi connue, mais reste un bel exemple de démonstration par l'absurde:

* On fait l'hypothèse suivante:  √2 est un nombre rationnel donc on suppose qu'il existe deux entiers a et b tels que √2 = a/b.

Si la fraction a/b n'est pas irréductible, on peut toujours la simplifier par pgcd(a;b) et on obtient finalement: √2= p/q où cette fois p et q sont premiers entre eux. Donc que p/q est maintenant vraiment irréductible.

En élevant au carré on obtient 2 = p²/q² donc p² = 2q² ce qui implique que p² est pair.

Donc que p est pair car si p était impair (de la forme 2k+1), son carré serait impair (égal à 4k²+4k+1 = 2(2k²+2k)+1 donc impair).

Si p est finalement pair, il peut s'écrire sous la forme p = 2p' avec p' entier.

En remplaçant dans p² = 2q² on obtient 4p'² = 2q² donc finalement q² = 2p'² 

ce qui implique que q² est pair, et donc que q est aussi pair, pour les mêmes raisons.

Ainsi, en écrivant q=2q' avec q' entier, on voit que la fraction p/q supposé irréductible, peut en fait être simplifiée par 2.

Cela n'a peut être l'air de rien, mais c'est en totale contradiction avec l'hypothèse p/q irréductible.

Conclusion: on ne peut pas trouver d'entiers a et b tels que √2 = a/b et √2 est donc irrationnel.

Rmq: pour √3 cette méthode marche bien aussi. ... Et pour √4  ?  :)


e
Le nombre de Neper, e,  est également irrationnel.

Beaucoup de livres de terminale S ont un exercice qui permet de montrer ce résultat:

 Autre version ici.

π

π  est un nombre irrationnel également (en fait il y a "bien plus" de nombres irrationnels que de nombres rationnels dans IR, l'ensemble des nombres réels)

Pour montrer l'irrationnalité de π, on peut utiliser la suite de polynômes suivants:



Plus de détails ici.

Transcendance.

π  est un nombre transcendant, e également

Il ne sont pas algébriques, c'est-à-dire solutions d'aucune équation à coefficients rationnels.

Contrairement à √2 qui est par exemple solution de l'équation algébrique: x² - 2 = 0

Démonstration de la transcendance de π  et  e  ici.

Pour finir, ...voici Miss Mathématiques

Il y a quelques années, on a demandé à quelques mathématiciens de citer leur formule préférée.

La plus élégante, la plus raffinée.  La plus sexy quoi!

Et l'élue fut la suivante:

C'est vrai que rassembler  en une simple petite ligne de calculs cinq des nombres les plus emblématiques des mathématiques, il fallait le faire.